lunes, 13 de febrero de 2012

Capacitancia

DEFINICION DE CAPACITANCIA.
Figura 3.1figura 3.1

Considere dos conductores que tienen cargas de igual magnitud pero de signo opuesto como se muestra en la figura 3.1 Tal combinación de dos conductores se denomina capacitor. Los conductores se conocen como placas. Debido a la presencia de las cargas existe una diferencia de potencial entre conductores. Puesto que la unidad de diferencia de potencial es el volt. Una diferencia de potencial suele ser llamada voltaje. Se usara este término para describir la diferencia de potencial a través de un elemento de circuito o entre dos puntos en el espacio.

Que determina cuanta carga esta sobre las placas del capacitor para un voltaje determinado? En otras palabras. Cual es la capacitancia del dispositivo para almacenar carga a un valor particular de una diferencia de potencial? Los experimentos muestran que la cantidad de carga Q sobre un capacitor es linealmente proporcional a la diferencia de potencial entre los conductores; es decir Q . La constante de proporcionalidad depende de la forma y separación de los conductores. Esta relación se puede escribir como Q = C si se define a la capacitancia como sigue:

La capacitancia C de un capacitor es la razón entre la magnitud de la carga en cualquiera de los dos conductores y la magnitud la diferencia de potencial entre ellos:


(3.1)


Advierta que, por definición, la capacitancia siempre es una cantidad positiva. Además, la diferencia de potencial siempre se expresa en la ecuación 3.1 como una cantidad positiva. Puesto que la diferencia de potencial aumenta linealmente con la carga almacenada, la proporción Q/ es constante para un capacitor dado. En consecuencia, la capacitancia es una medida de la capacidad del capacitor para almacenar carga y energía potencial eléctrica.


En la ecuación 3.1 se ve que la capacitancia se expresa en el SI con las unidades coloumb por volt. La Unidad de capacitancia de SI es el Farad (F), denominada así en honor a Michael Faraday:


1F = 1 C / V


El Faraday es una unidad de capacitancia muy Grande. En la práctica los dispositivos comunes tienen capacitancias que avarian de microfarads (10-6 F) a picofarads (10-12 F). para propósitos prácticos los capacitares casi siempre se marcan con “mF” para microfaras y “mmF” para micromicrofarads o, de manera equivalente, “pF” para picofarads.



Figura 3.2 Considere un capacitor formado a partir de un par de placas paralelas como se muestra en la figura 3.2. Cada placa esta conectada a la terminal de una bacteria (no mostrada en la Figura. 3.2), que actúa como fuente de diferencia de potencial. Si los alambres conectores cuando se realizan las conexiones. Centre la atención sobre la placa conectada a la terminal negativa de la batería. El campo eléctrico aplica una fuerza sobre los electrones en el alambre afuera de esta placa: esta fuerza provoca que los electrones se muevan hacia la placa. Este movimiento continúa hasta que la placa, el alambre y la terminal están todos al mismo potencial eléctrico. Una vez alcanzado este punto de equilibrio, ya no existe mas una diferencia de potencial entre la terminal y la placa, y como resultado no existe un campo eléctrico en el alambre, por tanto, el movimiento de los electrones se detiene. La placa ahora porta una carga negativa. Un proceso similar ocurre en la otra placa del capacitor, con los electrones moviéndose desde la placa hacia el alambre, dejando la placa cargada positivamente. En esta configuración final la diferencia de potencial a través de las placas del capacitor es la misma que la que existe entre las terminales de la batería.

Suponga que se tiene un capacitor especificado en 4 pF. Esta clasificación significa que el capacitor puede almacenar 4 pC de carga por cada volt de diferencia de potencial entre los dos conductores. Si una batería de 9V se conecta a través de este capacitor, uno de los conductores terminara con una carga neta de -36 pC y el otro finalizara con una carga neta de +36 pC.





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3.2 CALCULO DE LA CAPACITANCIA


La capacitancia de un par de conductores con cargas opuestas se puede calcular de la siguiente manera: se supone una carga de magnitud Q y la diferencia de potencial se calcula usando las técnicas descritas en el capitulo anterior. Entonces se usa la expresión C = Q / para evaluar la capacitancia. Como se podría esperar, el cálculo se efectúa con relativa facilidad si la geometría del capacitor es simple.


Se puede calcular la capacitancia de un conductor esférico aislado de radio R y carga Q si se supone que el segundo conductor que forma al capacitor es una espera hueca concéntrica de radio infinito. El potencial eléctrico de la esfera de radio R es simplemente k,Q/R, y V = 0 se establece en el infinito, como de costumbre, con lo que se tiene


(3.2)


Esta expresión muestra que la capacitancia de una esfera cargada aislada es proporcional a su radio y es independiente tanto de la carga sobre la esfera como de la diferencia de potencial.


La capacitancia de un par de conductores depende de la geometría de los mismos. Se ilustra esto con tres geometrías familiares, es decir, placas paralelas, cilindros concéntricos y esferas concéntricas. En estos ejemplos se supone que los conductores cargados están separados por el vació.


CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS


Dos placas metálicas paralelas de igual área A están separadas por una distancia d, como se muestra en la figura 3.3. Una placa tiene una carga Q; la otra, carga –Q. Considere como influye la geometría de estos conductores en la capacidad de la combinación para almacenar carga. Recuerde que las cargas de signos iguales se repele entre si. Conforme un capacitor se carga por una batería, los electrones fluyen a la placa negativa y fuera de la placa positiva. Si las placas del capacitor son grandes, las cargas acumuladas se pueden distribuir sobre una área sustancial, y la cantidad de carga que se puede almacenar sobre una placa para una diferencia de potencial dad se incrementa conforme aumenta el área de la placa. En consecuencia, se espera que la capacitancia sea proporcional al área de la placa A.


Ahora considere la región que separa a las placas. Si la batería tiene una diferencia de potencial constante entre sus terminales, entonces el campo eléctrico entre las placas debe incrementarse conforme disminuye d. Imagine que las placas se mueven para acercarlas y considere la situación antes de que alguna carga haya tenido oportunidad de moverse en respuesta a este cambio. Puesto que ninguna carga se ha movido, el campo eléctrico entre las placas tiene el mismo valor, pero se extiende sobre una distancia mas corta. Por ende, la magnitud de la diferencia de potencial entre las placas = Ed,( ) ahora es mas pequeña. La diferencia entre este nuevo voltaje de capacitor y el voltaje de terminal de la batería ahora existe como una diferencia de potencial a través de los alambres que conecta la batería al capacitor. Esta diferencia de potencial resulta en un campo eléctrico en los alambres que conducen mas carga a las placas, incrementando la diferencia de potencial entre las placas. Cuando la diferencia de potencial entre las placas de nuevo se empareja con la de la batería, la diferencia de potencial a través de los alambres cae de vuelta a cero, y el flujo de carga se detiene. En consecuencia, mover las placas para que se acerquen provoca que aumente la carga sobre el capacitor. Si d aumenta, la carga disminuye. Como resultado, se espera que la capacitacia del dispositivo sea inversamente proporcional a d.


Figura 3.3

Figura 3.3


Estos argumentos físicos se pueden verificar con la siguiente derivación. La densidad de carga superficial sobre cualquier placa es = Q / A. Si las placas están muy cercanas una de la otra (en comparación con su longitud y ancho), se puede suponer que el campo eléctrico es uniforme entre las placas y cero en cualquier otra parte. De acuerdo con lo dicho aneriormente, el valor del campo eléctrico entre las placas es



Puesto que el campo eléctrico entre las placas es uniforme, la magnitud de la diferencia de potencial entre las placas es igual a Ed;() por tanto,




Al sustituir este resultado en la ecuación 3.1 se encuentra que la capacitancia es


(3.3)


Es decir, la capacitancia de un capacitor de placas paralelas es proporcional al área de sus placas e inversamente proporcional a la separación de estas, tal como se esperaba a partir del argumento conceptual.


Un examen cuidadoso de las líneas del campo eléctrico de un capacitor de placas paralelas revela que el campo es uniforme en la región central entre las placas, como se muestra en la figura 3.3a. Sin embargo, el campo no es uniforme del campo eléctrico en los extremos de las placas. Tales efectos de borde se pueden despreciar si la separación de la placa es pequeña en comparación con la longitud de las placas.


Ejemplo 3.1

Un capacitor de placas paralelas tiene un área A =. y una superficie de placa

d = 1.00 mm. Encuentre su capacitancía.


Incógnitas

Su capacitancía.

Datos

Capacitor de placas paralelas

Superficie de placa

Conocimientos previos

Carga eléctrica

Campo eléctrico

Diferencia de potencial


Solución

De la ecuación se encuentra que:





Ejemplo 3.2


Un capacitor esférico consta de un cascarón conductor esférico de radio by carga –Q concéntrico con una esfera conductora más pequeña de radio a y carga Q. Encuentre la capacitancía de este dispositivo(fig26.6)


Incógnitas

La capacitancía.

Datos

Un capacitor esférico consta de un cascarón conductor esférico de radio by carga –Q concéntrico con una esfera conductora más pequeña de radio a y carga Q.


Conocimientos previos

Carga eléctrica

Campo eléctrico

Diferencia de potencial


Solución

Campo se demostró, el campo afuera de una distribución de carga simétrica esfericamente es radial y esta dado por la expresión . En este caso el resultado se aplica al campo entre las esferas (a < r < b). de acuerdo con la ley de Gauss solo la esfera interior contribuye a este campo. De este modo, la diferencia de potencial entre esferas es:





La magnitud de la diferencia de potencial es



Sustituyendo este valor por se obtiene


=




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3.3 COMBINACIONES DE CAPACITORES


En común que dos o mas capacitores se combinen en circuitos eléctricos. La capacitancia equivalente de ciertas combinaciones puede calcularse utilizando los métodos descritos en esta sección. Los símbolos de circuitos para capacitares y baterías, junto con sus códigos de color usados en este texto. El símbolo para el capacitor refleja la geometría del modelo más común para un capacitor(un par de placas paralelas). La terminal positiva de la batería esta al potencial mas alto y se representa en el símbolo del circuito por la línea vertical mas larga.




COMBINACION EN PARALELO



Dos capacitares conectados como se muestra en la figura 3.4a se conocen como una combinación en paralelo de capacitares. La figura 3.4b muestra un diagrama de circuito para esta combinación de capacitares. Las placas de la izquierda de los capacitares se conectan por un alambre conductor en la terminal positiva. De igual modo, las placas de la derecha están conectadas a la terminal negativa de la batería y, por ello, se encuentran al mismo potencial de la terminal negativa. De este modo, las diferencias de potencial individuales a través de los capacitares conectados en paralelo son todas las mismas y son iguales a la diferencia de potencial aplicada a través de la combinación.



Figura 3.4


En un circuito como el mostrado en la figura 3.4 el voltaje aplicado a través de la combinación es el voltaje terminal de la batería, Pueden ocurrir situaciones en las cuales la combinación en paralelo este en un circuito con otros elementos de circuito; en tales situaciones se debe determinar la diferencia de potencial a través de la combinación mediante el análisis del circuito completo.


Cuando los capacitares se conectan primero en el circuito mostrado en la figura 3.4, los electrones se trasfieren entre los alambres y las placas; esta trasferencia deja las placas de la izquierda cargadas positivamente y a las placas derechas cargadas negativamente. La fuente de energía para esta transferencia de carga es la energía química interna almacenada en la batería, la cual se convierte en energía potencial eléctrica asociada con la separación de las cargas. El flujo de carga cesa cuando el voltaje a través de los capacitares es igual al que cruza las terminales de la batería. Los capacitares alcanzan su carga máxima cuando se interrumpe el flujo de carga. Denomine a las cargas máximas en los dos capacitares como Q1 y Q2. La carga total Q almacenada por los dos capacitares es


Q = Q1 + Q2 (3.4)


Esto es, la carga total en los capacitares conectados en paralelo es la suma de las cargas en los capacitares individuales. Puesto que los voltajes a través de los capacitares son los mismos, las cargas que ellos conducen son


Q1 = C1 Q2= C2




Suponga que desea sustituir estos dos capacitares por un capacitor equivalente con una capacitancia Ceq, como se muestra en la figura 3.4c. Este capacitor equivalente debe tener exactamente el mismo efecto sobre el circuito que el efecto de la combinación de los dos capacitares individuales. Es decir, el capacitor equivalente debe almacenar Q unidades de carga cuando este conectado a la batería. Se puede ver en la figura 3.4c que el voltaje a través del capacitor equivalente también es AV por que el capacitor equivalente esta conectado en forma directa a través de las terminales de la batería. En consecuencia, para el capacitor equivalente,


Q = Ceq


La situación de estas tres relaciones para la carga en la ecuación 3.4 produce




Si se extiende este tratamiento a tres o mas capacitares conectados en paralelo, se cuenta que la capacitancia equivalente es


Ceq = C1 + C2 + C3 + … (combinación en paralelo) (3.5)


Así pues, la capacitancia equivalente de una combinación de capacitares en paralelo es mayor que cualesquiera de la capacitancias individuales. Esto tiene sentido porque, en esencia, se están combinando las áreas de todas las placas de los capacitares cuando se conectan con alambre conductor.


COMBINACION EN SERIE



Dos capacitares conectados como se muestra en la figura 3.5a se conocen como combinación en serie de capacitares. La placa izquierda del capacitor 1 y la placa derecha del capacitor 2 están conectadas a las terminales de una bacteria. Las otras dos placas están conectadas entre si y a nada mas; en consecuencia, forman un conductor aislado que inicialmente esta descargado y debe continuar así para tener carga cero. Para analizar esta combinación comience por considerar los capacitares descargados y vea que sucede después de que una batería se conecta al circuito. Cuando la batería se conecta se tranfierne electrones de la placa izquierda de C1 a la placa derecha de C2. A medida que esta carga negativa se acumula en la placa derecha de C2, una cantidad equivalente de carga negativa es obligada a salir de la placa izquierda de C2. Como resultado, todas las placas derechas ganan una carga –Q, mientras que todas las placas izquierdas tienen una carga +Q. De esta manera, las cargas en los capacitares conectados en serie son las mismas.

A partir de la figura 3.5a se ve que el voltaje AV a través de las terminales de la batería esta dividido entre los dos capacitares:


(3.6)


Figura 2.5

Figura 3.5


Donde 1 Y 2 son las diferencias de potencial a través de los capacitares C1 y C2, respectivamente. En general, la diferencia de potencial total a través de cualquier numero de capacitares conectados en serie es la suma de las diferencias de potencial a través de los capacitares individuales.


Suponga que un capacitor equivalente tiene el mismo efecto sobre el circuito que la combinación en serie. Después de que esta cargado completamente, el capacitor equivalente debe tener una carga de –Q en su placa derecha y de +Q en su placa izquierda. Aplicando la definición de capacitancia al circuito mostrado en la figura 3.5 se tiene


Puesto que la expresión Q=CAV puede aplicarse a cada capacitor mostrado en la figura 3.5a, la diferencia de potencial a través de cada uno de ellos es




Al sustituir estas expresiones en la ecuación 3.6, y observar que = Q / Ceq, se tiene




Cancelando Q se llega a la relación




Cuando este análisis se aplica a tres o mas capacitares conectados en serie, la relación para la capacitancia equivalente es



(3.7)


Esto demuestra que la capacitancia equivalente de una combinación en serie siempre es menor que cualquier capacitancia individual en la combinación.


Ejemplo 3.3
Encuentre la capacitancía equivalente entre a y b para combinación de capacitores que se muestra en la figura 2610a . Todas las capacitancías están en microfarads.
Incógnitas
Su capacitancía equivalente entre a y b para la combinación de capacitores
Datos
Combinación de capacitores
Figura
Conocimientos previos
Carga eléctrica
Campo eléctrico
Diferencia de potencial
Capacitancía serie, paralelo, serie-paralelo
Solución
Con la aplicación de las formulas para arreglos serie y paralelo se reduce la combinación paso a paso, como se indica en la figura. Los capacitores de (1 y 3 microfarads) están en paralelo y se combinan de acuerdo con la expresión . Los capacitores de ( 2 y 6 ) también están en paralelo y tienen una capacitancía equivalente de 8 . En consecuencia la rama superior en la figura consta ahora de dos capacitores de 4 en serie los cuales combinan como sigue:
la rama inferior en la figura b, se compone de dos capacitores de 8 en serie , la cual produce una capacitancía equivalente de 4 .por ultimo los capacitores de (2 y 4 ) de la figura c están en paralelo y tienen por tanto una capacitancía equivalente de 6 .

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